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试论数学分析中极限的化归转化思想方法(图文)

来源网络

论文导读:作为数学思想方法的“主梁”之一,化归转化思想已经渗透到数学的各个分支中。特殊化和一般化以及他们之间的彼此转化和相互作用,是数学分析中的重要思想和方法。1、数列极限化归为函数极限来求。
关键词:化归转化思想,极限,数学分析

  当我们面对的数学问题不能用已知模型加以解决时,就会考虑其它意义上的解题策略,其中首要的一个就是化归转化策略。作为数学思想方法的“主梁”之一,化归转化思想已经渗透到数学的各个分支中。
  化——就是变化原问题,转化原问题,变换原问题;归——就是变化,转化,变换原问题是有目的,有方向的,其目的就是变化出一个已知数学模型,就是通过变化使面临的问题转化为自己会解决的问题。化归——是指把待解决或未解决的问题,通过某种转化过程,归结到一类已经解决或比较容易解决的问题中去,最终求得原问题解答的一种手段和方法。
  在解决数学问题时,若按照思维习惯处理陷入困境时,可以把思维转到另外的可逆方向,眼光不能完全落在原问题的结论上,而应该是去寻觅,追溯一些熟知的结果,促使要解决的问题转化为某个已经解决了的问题,从而通过化归转化思想转化并解决原问题,其基本思维过程如下:
  
  化归基本思维
  通过分析《数学分析》中的极限部分,对其中所蕴含的化归转化思想进行了分析和探讨,并挖掘出常用的五种化归转化的思想:一般与特殊、有限与无限、数与形之间的转化以及映射变换、化正为反的化归转化思想:
  一、特殊与一般之间的转化:
  特殊化和一般化以及他们之间的彼此转化和相互作用,是数学分析中的重要思想和方法。论文参考。
  
  一般化与特殊化之间的转化
  综观数学分析中有关基本概念的形成和引入,有关基本理论与方法的建立与发展,都经历着由特殊到一般的认识发展过程。
  1、数列极限化归为函数极限来求。
  海涅定理(实现了数列极限与函数极限之间的相互转化):对任意以为极限的数列
  例 求
  分析:将所求转化为,这样就可以利用罗必达法则来计算了。
  函数数极限柯西准则充分性的证明,是通过归结原则,利用化归转化的一般与特殊转化(数列极限的柯西准则充分性)来证明的。
  例 证明函数极限柯西准则的充分性:设内有定义,对任意的,使得对任何都有,则极限存在。
  证明;设数列含于,且。由假设对给定的正数,存在相应的正数,只要 便有
  对上述的,由于 ,则由数列极限的柯西准则知,存在相应的正数,对一切,都有 因此
  于是由数列的柯西准则知,它的极限存在,记为,即

试论数学分析中极限的化归转化思想方法(图文)
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