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有关Leibniz流形若干性质的讨论(图文)

来源网络

论文导读:本文给出了Leibniz流形上Leibniz括号的一些性质,并讨论了微分同胚对Leibniz流形结构的保持,同时得到了微分同胚所诱导的Leibniz括号的若干性质。
关键词:Leibniz流形,Leibniz括号,微分同胚

  0.引言
  如所知,大多数经典的动力系统都可以用Poisson结构来描述.流形上的Poisson结构是一个双线性映射,同时,这个括号还满足反称性、导性(即Leibniz法则)、和Jacobi恒等式.赋予Poisson结构的流形叫Poisson流形【1】,它是分析力学最好的数学框架,并在几何光学、热力学、量子论等物理分支中有重要应用.但最近人们注意到,如果将Poisson结构弱化,则能够较好地描述更为一般的动力系统.比如不要求括号积满足Jacobi恒等式,则得到近Poisson结构,如果再去掉反称性,就得到本文所讨论的Leibniz流形(又称为伪Poisson流形【2】).它可为一些非完全约束的动力系统,耗散系统提供几何框架,此外,它还能作为广义Hamilton控制系统的状态空间,如电力系统、励磁控制系统等都可用Leibniz流形结构来处理【2】[3][4].所以Leibniz流形的理论需要人们给予更多的关注和研究,本文就是参与这一努力的尝试.
  1.准备工作
  定义1[5]:设是一个光滑流形,上的Leibniz括号是一个双线性映射:
  
  满足
  
  其中称为Leibniz流形。
  定义2[6]:设是一个光滑流形,上的L-括号是一个Leibniz括号,且满足Leibniz恒等式
  
  此时把叫做L-流形。论文参考。
  易见,若L-流形上的L-括号满足反称性,则成为Poisson流形。
  定义3【7】:光滑映射如果是单一的,到上的,并且也是光滑的,则称是微分同胚,这时也称流形是微分同胚的。论文参考。
  2.主要结果
  Leibniz流形的结构取决于其上的Leibniz括号,在此我们先给出Leibniz括号的一些性质.
  定理1:设为Leibniz流形,上的Leibniz括号,如果上的常函数,则,有.
  证明:对
  
  所以.同理可证.
  定理2:设为Leibniz流形,上的Leibniz括号,如果,使得中某一点,则.
  证明:.
  同理可证.
  定理3:设为一维Leibniz流形,上的Leibniz括号,如果,使得中某一点,则.
  证明:取以为中心的局部坐标系,设坐标函数为,则函数点处的泰勒展开为
  
  因为所以,又因为为常数,所以
  再注意
  
  类似地,对的泰勒展开的更高次项都有同样情形,所以同理可证.
  现考察微分同胚对Leibniz结构所产生的作用[8].
  定理4:设是Leibniz流形, 是光滑流形,是微分同胚,那么也是Leibniz流形.
  证明:对,定义,显然,满足双线性.下面验证满足Leibniz法则,对有:

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