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一类随机微分方程的稳定性(图文)

来源网络

论文导读:为了更好地研究这些现象,很多学者利用微分方程来描述它们,随机微分方程正是当今最活跃的领域,许多数学家致力于对它的研究。定理3.1如果(H1.1)和(H1.2)均成立,则方程(1.2)是几乎确定指数稳定的。
关键词:随机微分方程,几乎确定指数稳定,噪声强度函数

  1.引言
  现实世界中的一切现象都是没有规律的。为了更好地研究这些现象,很多学者利用微分方程来描述它们,随机微分方程正是当今最活跃的领域,许多数学家致力于对它的研究。在本文中我们主要讨论随机微分方程的稳定性。
  下面我们考虑如下形式的非线性方程
  其中是噪声强度参数,维布朗运动,并且函数,和都是局部Lipschitz连续的()
  如果下列条件满足
  (H1.1) 如果存在一个的正定矩阵, 和三个正常数, , ,且有,满足下列条件:
  ,,,
  对于任意的成立。
  毛学荣(1997)指出当参数可以足够大的时候,方程(1.1)的平衡解是几乎确定指数稳定的。一般来说,对于一个常微分方程是不稳定的,但是增加了随机干扰后就变成稳定的系统了,这个是非常令人惊奇的。换句话说,不稳定的系统可以被强大的白噪声稳定。现在,我们就想知道如果把噪声强度参数换成噪声强度函数会是什么样的啊?是不是如果$m(t)$可以足够大的话,也可以保证方程的稳定性呢?本文将对这个问题给出回答。
  这篇文章主要是对随机微分方程
  
  进行讨论,得到了当噪声强度函数足够大时,方程(1.2)是几乎确定指数稳定的,本文把一个参数推广到函数。并且函数还可以被其他的形式取代,同样也可以保证系统的稳定性,这个在控制函数稳定性上给我们提供了更多的方法,在控制领域给我们提供更广阔的思路。
  2. 引理
  引理2.1 Borel-cantelli's 引理
  (1) 如果,则
  (2) 如果序列是相互独立的,并且,则
  引理2.2 如果,且均为正常数。则
  
  引理2.3 Gronwall's不等式
  设,且是定义在上的Borel 可测的有界非负函数。若。论文格式。则

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